PROGRAMACION LINEAL

Raciones de Mínimo Costo

La programación lineal es el estudio de modelos matemáticos concernientes a la asignación eficiente de los recursos limitados en las actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). El propósito de la programación lineal es el de MAXIMIZAR o MINIMIZAR funciones lineales de la forma :

f(X) = C1X1 + C2X2 + C3X3 +. .... ....+ CnXn

Sujeta a un sistema de inecuaciones o ecuaciones lineales.

a11X1 + a12X2 + a13X3 a1nXn <= b1

a21X1 + a22X2 + a23X3 a2nXn <= b2

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am1X1 + am2X2 + am3X3 + amnXn <= bn

En donde las variables Xi (i = 1,2,3 n) son no negativas.

EJEMPLO 1

Para aplicar la programación lineal en la elaboración de las raciones para vacas lecheras, partimos de una ración hipotética en la cual intervienen los siguientes datos:
- Dos alimentos : un Concentrado (X1) y un Forraje (X2)
- Tres nutrientes :
                              Proteína Cruda PC
                              Energía Neta de lactancia ENI
                              Fibra Cruda FC
- El precio por Kilogramo de cada uno de los alimentos
- Necesidades nutritivas de las vacas lecheras.

NECESIDADES

Nuestro propósito es el de optimizar una ración de Mínimo Costo, aplicando la programación lineal por el método gráfico. El modelo de programación lineal es el siguiente:

(1) MIN 110 X1 + 50 X2

SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES

(2) 120 X1 + 200 X2 >= 1500

(3) 2.0 X1 + 1.3 X2 >= 16.5

(4) 100 X1 + 280 X2 <= 2000

(5) 100 X1 + 280 X2 >= 1300

La ecuación (1) corresponde a la FUNCION OBJETIVO, que se trata de Minimizar, la restricción (2) es de la Proteina Cruda PC, que como mínimo debe tener 1500 gramos, la restricción (3) es de la Energía Neta de lactancia ENI, que como mínimo debe tener 16.5 Mcal., la restricción (4) es de la Fibra Cruda, FCmax que como máximo debe tener 2000 gramos, la restricción (5) es también de la Fibra Cruda FCmin, pero en este caso debe tener un mínimo de 1300 gramos.

Se va a determinar por graficación, cuantos Kilogramos de Concentrado (X1) y cuantos Kilogramos de Forraje (X2) se calcularan para que la ración sea al mínimo costo posible y cubra los requerimientos nutritivos.

Para pensar en una interpretación geométrica de nuestro problema, se transforman las inecuaciones 2, 3, 4 y 5 como ecuaciones :

120 X1 + 200 X2 = 1500

2.0 X1 + 1.3 X2 = 16.5

100 X1 + 280 X2 = 2000

100 X1 + 280 X2 = 1300

Se trazan las gráficas de dichas ecuaciones, que no son otra cosa que líneas rectas, en los ejes cartesianos, tomando coma eje de las Xs el Concentrado (X1) y en el eje de las Ys el Forraje (X2).

En el área factible de solución (rayada) tenemos dos vértices, el Punto A, donde se intersectan las líneas de FCmax con ENI y el Punto B donde se intersectan las líneas de ENl con PC; encontrando las coordenadas de estos puntos :

PUNTO A

  FCmax               100 X1 + 280 X2 = 2000

                                                             Enl                        2.0 X1 + 1.3 X2 = 16.5

Donde :

X1 = 4.7              X2 = 5.47

PUNTO B

                                                               ENl               2.0 X1 + 1.3 X2 = 16. 5

                                                               PC               120 X1 + 200 X2 = 1500

Donde :

X1 = 5.53             X2 = 4.18

Sustituyendo los valores de estos puntos en la ecuación del COSTO.

110 X1 + 50 X2

Para el Punto A (4.7 , 5.47)

110(4.7) + 50(5.47) = 790.5

Que son los valores para el MINIMO COSTO.

Para el Punto B (5.53 , 4.18)

110(5.53) + 50(4.18) = 817.62

La ecuación FCmin 100X1 + 280 X2 = 1300

está fuera del área factible de solución, por lo tanto, no participa en la solución del problema de optimización.

LA SOLUCION ES :

                                                          CONCENTRADO                 (X1) = 4.70 Kg.

                                                          FORRAJE                              (X2) = 5.47 Kg.

MINIMO COSTO = $ 790.50

APORTE DE NUTRIENTES POR LA RACION :

Proteina Cruda PC 120(4.7) + 200(5.47) = 1658 gr., que es poco más del mínimo impuesta por la restricción de 1500 gr.

Energía Neta de lactancia ENI 2.0(4.7) + 1.3(5.47) = 16.5 Mcal., que es el mínimo requerido e impuesto por la restricción.

Fibra Cruda FC 100(4.7) + 280(5.47) = 2000 gr., que es limite máximo requerido e impuesto por la restricción 1300 - 2000 gr.

Maximización de Raciones

EJEMPLO 2

Calculemos ahora una ración MAXIMIZADA con los siguientes datos, Agregando una nueva restricción ; COSTO :

NECESIDADES

Optimizar una ración de MAXIMA PROTEINA CRUDA, agregando como restricción, que la ración no cueste más de $ 850.00.

El modelo de programación lineal es el siguiente:

(1) MAX 120 X1 + 200 X2

SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES

(2) 2.0 X1 + 1.3 X2 >= 14.5

(3) 100 X1 + 280 X2 <= 2000

(4) 100 X1 + 280 X2 >= 1300

(5) 110 X1 + 50 X2 <= 850

La ecuación (1) es la FUNCION OBJETIVO, que en este caso será para Máxima Proteína Cruda PC, la inecuacíón (2) es la restricción para la Energía Neta de lactancia ENl, siendo mínimo de 14.5 Mcal., la inecuación (3) es la restricción para la Fibra Cruda FCmax, que es de máximo de 2000 gr., la inecuación (4) es la restricción también para la Fibra Cruda FCmin, pero para un mínimo de 1300 gr., la inecuación (5) es la restricción del COSTO de la ración, que deberá costar un máximo de $ 850.00.

Trazando las ecuaciones lineales en los ejes cartesianos, tendremos :

En el área factible de solución (rayada) también tenemos dos vértices, el Punto A, donde se intersectan las líneas de FCmax con COSTO y el Punto B, donde se intersectan las líneas de ENI con FCmin.

Encontrando las coordenadas de estos puntos :

PUNTO A

                                                   FCmax                 100 X1 + 280 X2 = 2000

                                                   COSTO                110 X1 +   50 X2 = 850

Donde :

X1 = 5.35           X2 = 5.23

Sustituyendo en la ecuación de Máxima Proteína Cruda

120(5.35) + 200(5.23) = 1688 gr.

PUNTO B

                                                             ENI             2 .0 X1 + 1.3 X2 = 14.5

                                                             FCmin       100 X1 + 280 X2 = 1300

Donde:

X1 = 5.51           X2 = 2.67

Sustituyendo en la ecuación de Máxima Proteína Cruda :

120(5.51) + 200(2.67) = 1423 gr

Vemos que en el Punto A(5.35 , 5.23) es donde se cumple la función objetivo para máxima proteína cruda, que es a la vez el punto más alejado del origen.

LA SOLUCION :

                                                             CONCENTRADO          (X1) = 5.35 Kg.

                                                             FORRAJE                       (X2) = 5.23 Kg.

MAXIMA PROTEINA CRUDA = 1688 gr.

APORTE DE NUTRIENTES POR LA RACION :

ENI 2(5.35) + 1.3(5.23) = 17.5 Mcal., que está arriba del limite mínimo de 14.5 Mcal. que impone como restricción.

FC 100(5.35) + 280(5.23) = 1999 gr., que se encuentra entre el rango de 1300 a 2000 grs. impuestos por las restricciones.

COSTO 110(5.35) + 50(5.23) = $ 850.00, costo que se encuentra al limite máximo impuesto por la restricción.

El método gráfico de solución de problemas de programación lineal, es práctico sólo para dos variables X1 y X2, más de dos variables se complica demasiado, pues se forma un poliedro dificil de interpretar; El Método Gráfico lo ilustramos sólo por cuestiones didácticas.

La manera más eficiente de resolver el problema de programación lineal es mediante el método Simplex, en el cual están basadas la mayoría de los códigos para computadora.

ESTRATEGIA DE ALIMENTACION

Ración para Vaca lechera

Resolver una ración optimizada por programación lineal para una Vaca Lechera con un pesa vivo de 650 Kg. produciendo 30 Kg. de leche por día, con un contenido de grasa de 4 %; por lo tanto producirá 9155 Kg. leche por lactancia.

La curva de lactancia tendrá los siguientes valores de producción mensual de leche por día, para una granja de 80 vacas, de las cuales 70 vacas están en producción lactea y 10 vacas se encuentran secas :

PERIODO DE SECA

1a. ESTRATEGIA .- Determinar una ración por cada mes de lactancia; por lo que calcularemos 10 raciones por programación lineal.

2a. ESTRATEGIA .- Lotes de vacas por producción lactea:

1er. Lote del 1er al 4o. mes de lactancia :
                  Producción lactea total de 4525 Kg. y Media/día de 37 Kg. 1 ración
                  para producción lactea de 37 Kg. leche y peso vivo de 650 Kg.

2o. Lote del 4o. al 7o. mes de lactancia:
                 Producción lactea total de 2721 Kg. y Media/día de 30 Kg. 1 ración
                 para producción lactea de 30 Kg. leche y peso vivo de 650 Kg.

3er. Lote del 7o. al 10o. mes de lactancia:
                  Producción lactea total de 1909 Kg. y Media/día de 21 Kg. 1 ración
                  para producción lactea de 21 Kg. leche y peso vivo de 650 Kg.